2変数の数学的帰納法(自作問題31)

問題．

今回は，自作問題の31番，2 変数の絡んだ数学的帰納法の問題です．

問題．
任意の非負整数 $p, n$ について， $(p+1)^{p^n}$ を $p^{n+1}$ で割った余りが 1 であることを示せ．

この問題はもともと，2 変数の入った問題ではなく， $p$ の部分に具体的な数値の入った次のような問題でした．

元の問題．
任意の非負整数 $n$ について， $8^{7^n}$ を $7^{n+1}$ で割った余りが 1 であることを示せ．

この問題をなにかの問題集で見て解いているときに，7 の部分が他の自然数でも成り立つのではないか？　と考えて試した結果この問題ができました．

解答例．

タイトルに 2 変数，と書いてはいますが，基本的には $n$ について数学的帰納法を用いることになります．

(i) $p=0$ のとき
\begin{align*}
(p+1)^{p^n} &= 1^{0^n}\\
&= 1^0\\
&= 1.
\end{align*}
よって，成り立つ．

(ii) $p=1$ のとき
\begin{align*}
(p+1)^{p^n} &= 2^{1^n}\\
&= 2^1\\
&= 2\\
&\equiv 1\pmod{1^{n+1}}.
\end{align*}
よって，成り立つ．

(iii) $n=0$ のとき
\begin{align*}
(p+1)^{p^n} &= (p+1)^{p^0}\\
&= (p+1)^1\\
&= p+1\\
&\equiv 1 \pmod{p^{0+1}}.
\end{align*}
よって，成り立つ．

(iv) $p\geq 2, n\geq 1$ のとき
ここで帰納法を使います．
$n=k$ 　で成り立つと仮定すると， $(p+1)^{p^k}\equiv 1\pmod{p^{k+1}}$ なので， $(p+1)^{p^k}-1=N\cdot p^{k+1}$ を満たす整数 $N$ が存在する．

$n=k+1$ のときを考えると，
\begin{align*}
(p+1)^{p^{k+1}} &= (p+1)^{{p^k}\cdot p}\\
&= \{(p+1)^{p^k}\}^p\\
&= \{N\cdot p^{k+1}\}^p\\
&= \sum_{i=0}^p {}_pC_i\,\cdot (Np^{k+1})^i\\
&= {}_pC_0\,\cdot(Np^{k+1})^0+{}_pC_1\,\cdot(Np^{k+1})+\sum_{i=2}^p {}_pC_i\,\cdot (Np^{k+1})^i\\
&= 1+Np^{k+2}+\sum_{i=2}^p {}_pC_i\,\cdot (Np^{k+1})^i\\
&= 1+p^{k+2}\{N+N^2p^k\sum_{i=2}^p {}_pC_i\,\cdot (Np^{k+1})^i-2\}\\
&\equiv 1\pmod{p^{k+2}}
\end{align*}
となり， $n=k+1$ のときも成立．