数学の力

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京大2015年度理系第6問(確率)


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問題.

 2 つの関数を,  \displaystyle f_0(x)=\frac{x}{2}, f_1(x)=\frac{x+1}{2} とおく.  \displaystyle x_0=\frac{1}{2} から始め, 各  n=1, 2, \ldots について, それぞれ確率   \displaystyle\frac{1}{2} x_n=f_0(x_{n-1}) または  x_n=f_1(x_{n-1}) と定める. このとき,  \displaystyle x_n<\frac{2}{3} となる確率  P_n を求めよ.

京大入試では定番のパターンです. 求めるべき  P_n 以外にも適当な確率を表す変数をおいて, 漸化式を立てて解いていきます. 確率の計算と漸化式を解けるかの2つの内容が問われている問題になっています.

 

また, 漸化式が  P_n P_{n-2} の関係式になるので,  n が偶数・奇数の場合をそれぞれ求めなければいけません.

 

解答例.

  x_n<\dfrac{1}{3} となる確率を  Q_n とおきます.

まず,  f_0(x), f_1(x) をどの順に使うかにかかわらず0 < x_n < 1です. ( x_n=f_0(x_{n-1}) では  x_n 0 x_{n-1} の平均に,  x_n=f_1(x_{n-1}) では  x_n x_{n-1} 1 の平均になっているので).

  f_0(x_{n-1})<\dfrac{2}{3} のとき,

x_{n-1}<\frac{4}{3}

となり, これは常に成り立ちます. また,

 \displaystyle f_1(x_{n-1})<\frac{2}{3} のとき,

\displaystyle x_{n-1}<\frac{1}{3}

となり, これが成り立つ確率は  Q_{n-1} なので,

\begin{align*}
P_n&= \frac{1}{2}\cdot 1+\frac{1}{2}Q_{n-1}\\
&= \frac{1}{2}+\frac{1}{2}Q_{n-1}\tag{1}
\end{align*}

次に,  Q_n について考えて,

 \displaystyle f_0(x_{n-1})<\frac{1}{3} のとき

\displaystyle x_{n-1}<\frac{2}{3}

となり, これが成り立つ確率は  P_{n-1}.

 \displaystyle f_1(x_{n-1})<\frac{1}{3} のとき

\displaystyle x_{n-1} < -\frac{1}{3}

となり, これが成り立つ確率は  0 なので,

\begin{align*}
Q_n &= \frac{1}{2}P_{n-1}+\frac{1}{2}\cdot 0\\
&= \frac{1}{2}P_{n-1}\tag{2}
\end{align*}

式(1), (2)から,  Q_n を消去して,

\begin{align*}
P_n=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}P_{n-2}
\end{align*}

変形して,

P_n-\frac{2}{3}=\frac{1}{4}\left(P_{n-2}-\frac{2}{3}\right)

 \displaystyle x_0=\frac{1}{2}<\frac{2}{3} より,  P_0=1 なので,  n=0, 1, 2\ldots について

P_{2n}-\frac{2}{3}=\left(\frac{1}{4}\right)^n\left(1-\frac{2}{3}\right)

整理すると,

P_{2n}=\frac{2}{3}+\frac{1}{3}\left(\frac{1}{4}\right)^n

また,  \displaystyle \frac{1}{2} の確率で

 \displaystyle x_1=f_0\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{4}<\frac{2}{3} または

 \displaystyle x_1=f_1\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{3}{4}>\frac{2}{3}

なので,  \displaystyle P_1=\frac{1}{2} で,  n=0, 1, 2, \ldots について

P_{2n+1}-\frac{2}{3}=\left(\frac{1}{4}\right)^n\left(\frac{1}{2}-\frac{2}{3}\right)

整理して,

\displaystyle P_{2n+1}=\frac{2}{3}-\frac{1}{6}\left(\frac{1}{4}\right)^n

以上をまとめると,

\begin{align*}
\left\{\begin{array}{l}
P_{2n}=\frac{2}{3}+\frac{1}{3}\left(\frac{1}{4}\right)^n\\
P_{2n+1}=\frac{2}{3}-\frac{1}{6}\left(\frac{1}{4}\right)^n
\end{array}
\right.
\end{align*}