問題.
解答.
時刻 から 秒後に1つの粒子が A, B, C にいる確率をそれぞれ とおけば, 2つの粒子の移動が互いに独立なので, 求める確率 は次のように書けます.\begin{align}
p(n)=a(n)^2+b(n)^2+c(n)^2 \tag{1}
\end{align}
そこで, に関して漸化式を立ててそれぞれ求めていきます.
まず, 粒子はいずれかの頂点に必ずいるので,
また, 初期条件として, 時刻0に粒子は点 A にいるので
時刻 に点 A にいるのは, 時刻 n に点 B または C にいるとき確率 で A に移動するから,
\begin{align*}
a(n+1) &= \frac{1}{2}b(n)+\frac{1}{2}c(n)\\
&= \frac{1}{2}(1-a(n))
\end{align*}
同様にして, についても以下の漸化式が成り立ちます.
\begin{align*}
b(n+1)=\frac{1}{2}(1-b(n))
\end{align*}
\begin{align*}
c(n+1)=\frac{1}{2}(1-c(n))
\end{align*}
ここで, 上の漸化式から,
\begin{align*}
a(n+1)-\frac{1}{3}=-\frac{1}{2}\left(a(n)-\frac{1}{3}\right)
\end{align*}
よって, は初項 , 公比 の等比数列で,
\begin{align*}
a(n)=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)^n
\end{align*}
また,
\begin{align*}
b(n+1)-\frac{1}{3}=-\frac{1}{2}\left(b(n)-\frac{1}{3}\right)
\end{align*}
よって, は初項 , 公比 の等比数列で,
\begin{align*}
b(n)=\frac{1}{3}-\frac{1}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)^n
\end{align*}
は初項と漸化式が と一致しているので, (これは三角形の対称性からも分かることですが)
\begin{align*}
c(n)=b(n)=\frac{1}{3}-\frac{1}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)^n
\end{align*}
以上の結果を式(1)に代入して,
\begin{align*}
p(n) &= a(n)^2+b(n)^2+c(n)^2\\
&= \left\{\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)^n\right\}^2+2\left\{\frac{1}{3}-\frac{1}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)^n\right\}^2\\
&= \frac{2}{3}\left(\frac{1}{2}\right)^{2n}+\frac{1}{3}
\end{align*}
最後の の計算間違いは気を付けなければならないですが, 解き方自体はさほど難しくないです.