数学の力

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京大2014年度理系第2問(確率)


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問題.

2 つの粒子が時刻 0 において  \triangle{ABC} の頂点  A に位置している. これらの粒子は独立に運動し, それぞれ 1 秒ごとに隣の頂点に等確率で移動していくとする. たとえば, ある時刻で点 C にいる粒子は, その 1 秒後には点 A または点 B にそれぞれ  \displaystyle \frac{1}{2} の確率で移動する. この 2 つの粒子が, 時刻 0 の  n 秒後に同じ点にいる確率  p(n) を求めよ.
これも京大の確率の問題では定番のパターンです.  p(n) を直接求めるのではなく, 適当な確率を表す変数を  p(n) 以外に自分でおいて漸化式から解いていく問題になっています.

 

解答.

時刻  n から  n 秒後に1つの粒子が A, B, C にいる確率をそれぞれ  a(n), b(n), c(n) とおけば, 2つの粒子の移動が互いに独立なので, 求める確率  p(n) は次のように書けます.

\begin{align}
p(n)=a(n)^2+b(n)^2+c(n)^2 \tag{1}
\end{align}

そこで,  a(n), b(n), c(n) に関して漸化式を立ててそれぞれ求めていきます.

まず, 粒子はいずれかの頂点に必ずいるので,

a(n)+b(n)+c(n)=1

 

また, 初期条件として, 時刻0に粒子は点 A にいるので

a(0)=1, b(0)=c(0)=0

 

時刻  n+1 に点 A にいるのは, 時刻 n に点 B または C にいるとき確率  \displaystyle \frac{1}{2} で A に移動するから,

\begin{align*}
a(n+1) &= \frac{1}{2}b(n)+\frac{1}{2}c(n)\\
&= \frac{1}{2}(1-a(n))
\end{align*}

同様にして,  b(n), c(n) についても以下の漸化式が成り立ちます.

\begin{align*}
b(n+1)=\frac{1}{2}(1-b(n))
\end{align*}

\begin{align*}
c(n+1)=\frac{1}{2}(1-c(n))
\end{align*}

ここで, 上の漸化式から,

\begin{align*}
a(n+1)-\frac{1}{3}=-\frac{1}{2}\left(a(n)-\frac{1}{3}\right)
\end{align*}

よって,  \displaystyle \{a(n)-\frac{1}{3}\} は初項  \displaystyle \frac{2}{3}, 公比  \displaystyle -\frac{1}{2}等比数列で,

\begin{align*}
a(n)=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)^n
\end{align*}

また,

\begin{align*}
b(n+1)-\frac{1}{3}=-\frac{1}{2}\left(b(n)-\frac{1}{3}\right)
\end{align*}

よって,  \displaystyle \{b(n)-\frac{1}{3}\} は初項  \displaystyle -\frac{1}{3}, 公比  \displaystyle -\frac{1}{2}等比数列で,

\begin{align*}
b(n)=\frac{1}{3}-\frac{1}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)^n
\end{align*}

 c(n) は初項と漸化式が  b(n) と一致しているので, (これは三角形の対称性からも分かることですが)

\begin{align*}
c(n)=b(n)=\frac{1}{3}-\frac{1}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)^n
\end{align*}

 

以上の結果を式(1)に代入して,

\begin{align*}
p(n) &= a(n)^2+b(n)^2+c(n)^2\\
&= \left\{\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)^n\right\}^2+2\left\{\frac{1}{3}-\frac{1}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)^n\right\}^2\\
&= \frac{2}{3}\left(\frac{1}{2}\right)^{2n}+\frac{1}{3}
\end{align*}

 

最後の  p(n) の計算間違いは気を付けなければならないですが, 解き方自体はさほど難しくないです.