定義
数列に対して,
\begin{align*}
\sum_{k=1} ^ \infty a_k
\end{align*}
を無限級数という.
数列の項目までの和
\begin{align*}
S_n = \sum_{k=1}^n a_n
\end{align*}
について, がに収束するとき, 無限級数はに収束し,
\begin{align*}
\sum_{k=1}^\infty a_k = S
\end{align*}
と表す. が発散するとき, 無限級数は発散する.
無限級数に関する定理
2つの無限級数がそれぞれに収束するとき,(1). , (:定数)
(2).
無限等比級数
初項, 公比の無限等比級数\begin{align*}
\sum_{k=1} ^ \infty ra ^ {n-1} = a + ar + ar ^ 2+\cdots
\end{align*}
は
(1) のとき収束し, 和は
(2) のとき発散する
(証明).
等比数列の項目までの和は\begin{align*}
S_n &= a+ar+\cdots+ar^{n-1}\\
&= a\frac{1-r^n}{1-r}
\end{align*}
なのでのときに収束する.