数学の力

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無限級数


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定義

数列 \{a_n\}に対して,

\begin{align*}
\sum_{k=1} ^ \infty a_k
\end{align*}

無限級数という.

 

数列の n項目までの和

\begin{align*}
S_n = \sum_{k=1}^n a_n
\end{align*}

について,  \displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n Sに収束するとき, 無限級数 Sに収束し,

\begin{align*}
\sum_{k=1}^\infty a_k = S
\end{align*}

と表す.  \displaystyle\lim_{n\to\infty}S_nが発散するとき, 無限級数は発散する.

 

無限級数に関する定理

2つの無限級数 \displaystyle\sum_{k=1} ^ \infty a_n, \sum_{k=1} ^ \infty b_nがそれぞれ A, Bに収束するとき,

(1).  \displaystyle \sum_{k=1}^\infty ca_n = cA, ( c:定数)

(2).  \displaystyle \sum_{k=1}^\infty (a_n\pm b_n)=A\pm B

 

無限等比級数

初項 a, 公比 rの無限等比級数

\begin{align*}
\sum_{k=1} ^ \infty ra ^ {n-1} = a + ar + ar ^ 2+\cdots
\end{align*}

(1)  |r|<1のとき収束し, 和は S=\dfrac{a}{1-r}

(2)  |r|\geqq 1のとき発散する

(証明).
等比数列 n項目までの和は

\begin{align*}
S_n &= a+ar+\cdots+ar^{n-1}\\
&= a\frac{1-r^n}{1-r}
\end{align*}

なので |r|<1のとき \dfrac{1}{1-r}に収束する.