導関数の定義と例

関数 $y=f(x)$ がある区間内の各点 $x$ で微分可能なとき, その微分係数 $f^\prime(x)$ は $x$ の関数になります.

これを $f^\prime(x), y^\prime, \dfrac{dy}{dx}$ などと書き, $f(x)$ の導関数といいます.

\begin{align*}
f^\prime(x) = \lim_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}
\end{align*}

となります.

また, $f(x)$ から $f^\prime(x)$ を求めることを, $f(x)$ を $x$ で微分するといいます.

(1) $f(x)=x$ の導関数は

\begin{align*}
f^\prime(x) &= \lim_{h\to 0}\dfrac{(x+h) - x}{h}\\
&= \lim_{h\to 0}\dfrac{h}{h}\\
&= \lim_{h\to 0} 1\\
&= 1
\end{align*}

(2) $g(x)=x^2$ の導関数は

\begin{align*}
g^\prime(x) &= \lim_{h\to 0}\dfrac{(x+h)^2-x^2}{h}\\
&= \lim_{h\to 0}\dfrac{2xh+h^2}{h}\\
&= \lim_{h\to 0} (2x+h)\\
&= 2x
\end{align*}

他の代表的な微分の例や公式は別の記事で書きます．

数学の力