チェバの定理の逆の利用例

チェバの定理の逆

チェバの定理の逆は以下のようなものでした.

$\triangle{\mathrm{ABC}}$ の辺 $\mathrm{BC}$ , $\mathrm{CA}$ , $\mathrm{AB}$ またはその延長上にそれぞれ点 $\mathrm{P}$ , $\mathrm{Q}$ , $\mathrm{R}$ があり, この3点のうち1個または3個が辺上の点であるとする. このとき,

$\mathrm{BQ}$ と $\mathrm{CR}$ が交わり, かつ

$\frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PC}}\cdot\frac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{QA}}\cdot\frac{\mathrm{AR}}{\mathrm{RB}}=1$

が成り立つならば, 3直線 $\mathrm{AP}$ , $\mathrm{BQ}$ , $\mathrm{CR}$ は1点で交わる.

今回は, この定理の利用例として, 三角形の重心, 内心, 垂心の存在証明をしてみます.

重心の存在

三角形の重心 :

三角形の3本の中線(頂点と向かい合った辺の中点を結ぶ線分)は1点で交わり, その点を重心という.

三角形の3本の中線が1点で交わることを示します.

証明.

図のように $\triangle{\mathrm{ABC}}$ の辺 $\mathrm{BC}$ , $\mathrm{CA}$ , $\mathrm{AB}$ の中点をそれぞれ $\mathrm{D}$ , $\mathrm{E}$ , $\mathrm{F}$ とします.

すると, 中線の定義から

\begin{align}
\mathrm{BD} &= \mathrm{CD}\\
\mathrm{CE} &= \mathrm{AE}\\
\mathrm{AF} &= \mathrm{BF}
\end{align}

なので,

\begin{align}
\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DC}}\cdot \frac{\mathrm{CE}}{\mathrm{EA}}\cdot\frac{\mathrm{AF}}{\mathrm{FB}} &= 1\cdot 1\cdot 1\\
&= 1
\end{align}

となるので, チェバの定理の逆により3本の中線は1点で交わります.

内心の存在

三角形の内心 :

三角形の3つの内角の2等分線は1点で交わり, その交点を内心という.

三角形の3つの内角の二等分線が1点で交わることを示します.

証明.

図のように角 $\mathrm{A}$ , $\mathrm{B}$ , $\mathrm{C}$ の2等分線が辺 $\mathrm{BC}$ , $\mathrm{CA}$ , $\mathrm{AB}$ と交わる点をそれぞれ $\mathrm{P}$ , $\mathrm{Q}$ , $\mathrm{R}$ とします.

角の2等分線の定理により,

$\mathrm{BP} : \mathrm{PC} = \mathrm{AB} : \mathrm{AC}$ なので $\frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PC}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}.$

同様に,

$\mathrm{CQ} : \mathrm{QA} = \mathrm{BC} : \mathrm{BA}$ なので $\frac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{QA}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{BA}}$

$\mathrm{AR} : \mathrm{RB} = \mathrm{CA} : \mathrm{CB}$ なので $\frac{\mathrm{AR}}{\mathrm{RB}}=\frac{\mathrm{CA}}{\mathrm{CB}}$

以上を辺々掛けて,

$\begin{align} \frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PC}}\cdot\frac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{QA}}\cdot\frac{\mathrm{AR}}{\mathrm{RB}} &= \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}\cdot\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{BA}}\cdot\frac{\mathrm{CA}}{\mathrm{CB}}\\ &= 1 \end{align}$

となるので, チェバの定理の逆により $\mathrm{AP}$ , $\mathrm{BQ}$ , $\mathrm{CR}$ は1点で交わります.

垂心の存在

三角形の垂心 :

三角形の各頂点から対辺(またはその延長)に下ろした垂線は, 1点で交わり, その点を垂心という.

証明.

(ここでは鋭角三角形の場合を証明します. 直角三角形, 鈍角三角形の場合も同様にして証明できます. )

$\triangle{\mathrm{ABC}}$ の各頂点 $\mathrm{A}$ , $\mathrm{B}$ , $\mathrm{C}$ から対辺に下ろした垂線の足をそれぞれ $\mathrm{P}$ , $\mathrm{Q}$ , $\mathrm{R}$ とします.

$\triangle{\mathrm{ABP}}$ と $\triangle{\mathrm{CBR}}$ において,

$\angle{\mathrm{B}}$ が共通で,

$\angle{\mathrm{BPA}}=\angle{\mathrm{BRC}}=90^\circ$

より, 2組の角がそれぞれ等しく

$\triangle{\mathrm{ABP}}$ ∽ $\triangle{\mathrm{CBR}}$

よって,

$\frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{BR}} = \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{CB}}$

同様にして,

$\triangle{\mathrm{BCQ}}$ ∽ $\triangle{\mathrm{ACP}}$ より

$\frac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{CP}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}}$

$\triangle{\mathrm{ACR}}$ ∽ $\triangle{\mathrm{ABQ}}$ より

$\frac{\mathrm{AR}}{\mathrm{AQ}}=\frac{\mathrm{CA}}{\mathrm{BA}}$

以上より,

$\begin{align} \frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PC}}\cdot\frac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{QA}}\cdot\frac{\mathrm{AR}}{\mathrm{RB}} &= \frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{RB}}\cdot\frac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{PC}}\cdot\frac{\mathrm{AR}}{\mathrm{QA}}\\ &= \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{CB}}\cdot\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}}\cdot\frac{\mathrm{CA}}{\mathrm{BA}}\\ &= 1 \end{align}$

となるので, チェバの定理の逆により $\mathrm{AP}$ , $\mathrm{BQ}$ , $\mathrm{CR}$ は1点で交わります.

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